Définition :
Soient \(X_1,\ldots,X_m\) des variables aléatoires discrètes définies sur un même espace \((\Omega,{\mathcal F},P)\)
On appelle vecteur aléatoire \((X_1,\ldots,X_m)\) l'application $$\begin{align}\Omega&\longrightarrow{\Bbb R}^m\\ \omega&\longmapsto (X_1(\omega),\ldots,X_m(\omega))\end{align}$$
Sa loi est la probabilité \(P_{X_1,\ldots,X_m}\). Elle est définie sur \({\mathcal P}({\Bbb R}^m)\) par : $$\forall B\subset {\Bbb R}^m,\qquad P_{X_1,\ldots,X_m}(B)=P(\{\omega\in\Omega\mid (X_1(\omega),\ldots,X_m(\omega))\in B\})$$
Cette loi est caractérisée par les probabilités d'intersection $$P(X_1=x_1,\ldots,X_m=x_m)=P\left(\bigcap^m_{i=1}\{X_i=x_i\}\right)$$ pour toutes les valeurs \(x_1\in X_1(\Omega),\ldots,x_m\in X_m(\Omega)\)
(Espace probabilisé)
Nomenclature
Remarque :
Quand \(m=2\), on parle de couple aléatoire au lieu de vecteur aléatoire
Remarque :
La variable aléatoire \(X_i\) est la \(i\)-ème marginale du vecteur aléatoire
Sa loi \(P_{X_i}\) est la \(i\)-ème loi marginale
Propriétés
Isoler la probabilité d'une variable dans un couple aléatoire
Remarque :
Si \((X,Y)\) est un couple aléatoire, alors $$\forall x\in X(\Omega),\qquad {{P(X=x)}}={{\sum_{y\in Y(\Omega)}P(X=x,Y=y)}}$$
